Question

（2007•烟台三模）已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，若f（0）=0，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l的斜率为3，且当x=

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，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点x=1处的切线l的斜率为3，且当x=

2

3

，y=f（x）有极值，可得方程，即可求得a，b，c的值；
（2）确定y=f（x）在[-3，1]上的单调性，求出极值与端点的函数值，即可求最大值和最小值．

解答：解：（1）由题意知，c=0，∴f（x）=x³+ax²+bx…（3分）
∴f′（x）=3x²+2ax+b
当x=1时，切线的l的斜率为3，可得2a+b=0．①
当x=

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3

，y=f（x）有极值，∴f′(

2

3

)=0
可得4a+3b+4=0．②
由①②解得a=2，b=-4．
所以，a=2，b=-4，c=0．…（7分）
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x
∴f′（x）=3x²+4x-4…（8分）
令f′（x）=0，可得x=-2或x=

2

3

．

x	[-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

∴f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=8．
在x=

2

3

处取取极小值f（

2

3

）=-

40

27

．…（12分）
又f（-3）=3，f（1）=-1．
∴f（x）在[-3，1]上最大值为8，最小值为-

40

27

．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数解析式的确定，考查函数的极值与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．