Question

已知函数f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

-x2+2ax+1-a2

，a，b∈R．
（1）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上是减函数，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x₀使f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把b=0代入可得f（x）=ax²-4x，①当a=0时，满足题意②当a≠0时，需满足

a＜0 2 a ≤2

，解之可得a的范围，综合可得答案；
（2）当a=0时，不合题意，须a＜0，且x=x0=

4+2b-b2

a

时f（x）取得最大值，而函数g(x)=-

-(x-a)2+1

，当x=a时，取得最小值，可得a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，可得a的范围，结合a是负整数，可得a值，代入前面式子可解得b值．

解答：解：（1）当b=0时，f（x）=ax²-4x，
①当a=0时，f（x）=-4x，为[2，+∞）上的减函数，满足题意；…（2分）
②当a≠0时，需满足

a＜0 2 a ≤2

，解得a＜0，
综上可得a≤0满足要求                                    …（6分）
（2）当a=0时，f(x)=-2

4+2b-b2

x不存在最大值     …（7分）
∵f（x）存在最大值f（x₀），
∴a＜0且当x=x0=

4+2b-b2

a

时f（x）取得最大值         …（9分）
对于g(x)=-

-(x-a)2+1

，当x=a时，g（x）取得最小值，…（11分）
∴

4+2b-b2

a

=a，∴a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

…（13分）
∴0＜a2≤

5

，∵a是负整数，∴a=-1从而b=-1或3，
∴满足题意的实数对为（-1，-1）和（-1，3）…（16分）

点评：本题考查函数的单调性，以及函数值域的求解，涉及分类讨论的思想，属中档题．