Question

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$+3cosC=$\frac{9}{2}$，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4．
（1）求角C和c；
（2）求△ABC的周长d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角形的内角和定理与三角恒等变换，化简4sin²$\frac{A+B}{2}$+3cosC=$\frac{9}{2}$，求出角C的值；
由平面向量的数量积和余弦定理，化简$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，求出边长c的值；
（2）根据a+b＞c，利用余弦定理，结合基本不等式，求出a+b的取值范围，即得△ABC周长d的取值范围．

解答 解：（1）△ABC中，∵A+B+C=π，
∴$\frac{A+B}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，
∴sin$\frac{A+B}{2}$=cos$\frac{C}{2}$
∵4sin²$\frac{A+B}{2}$+3cosC=$\frac{9}{2}$，
∴2（1+cosC）+3cosC=$\frac{9}{2}$，
解得cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$；
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，
∴c•bcosA+c•acosB=4
∴cb•$\frac{{c}^{2}{+b}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$+ac•$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=c²=4
∴c=2；
（2）由已知：a＞0，b＞0，a+b＞c=2；
由余弦定理得：
c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3•${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$（a+b）²，
当且仅当a=b时等号成立，
∴（a+b）²≤4c²=4×4=16；
又a+b＞2，
∴2＜a+b≤4，∴4＜a+b+c≤6；
∴△ABC的周长d的取值范围是（4，6]．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换与余弦定理的应用问题，是综合性题目．