题目内容
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为
。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。
（1）求椭圆和双曲线的标准方程
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2=1
（3）是否存在常数
，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？
若存在，求的值，若不存在，请说明理由。
【答案】
（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为
，得
，又
，得
，
，所以
所以椭圆的标准方程为
； ……2
所以椭圆的焦点坐标为（
，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为
。 …………4
（Ⅱ）设点P（
，
），
=
，
=
，∴
=
…6
点P（，）在双上，有
，即
，∴=1 ……8
（Ⅲ）假设存在常数
，使得
恒成立，则由（Ⅱ）知
，所以设直线AB的方程为
，则直线CD的方程为
，
由方程组
消y得：
，设
，
，
则由韦达定理得：
……………9
所以|AB|=
=
，同理可得 ……………10
|CD|=
=
=
， …………11
又因为，
所以有
=
+
=
，
所以存在常数
，成立。
【解析】略
练习册系列答案
相关题目
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
、
，证明
；
，使得
恒成立？若存在，求
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点
和
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； 
、
，证明
；
，使得
恒成立？
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
、
，证明
；
，使得
恒成立？若存在，求
的离心率为
，且经过点
平行于
的直线
在
轴上的截距为
，
的取值范围；
、
与
轴始终围成一个等腰三角形．
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为
。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。
，使得|AB|+|CD|=