Question

已知数列{a_n}为等差数列．
（1）若a₁=3，公差d=1，且a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，求m的最大值；
（2）对于给定的正整数m，若a₁²+a_m+1²=1，求S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值．

Answer 1

分析：（1）不等式左侧可先加上a₁，再减去a₁，构造出一个等差数列前m项和的形式，代入公式求解即可；
（2）由等差数列的前n项和公式可得要求S的最大值，只需求a_m+1+a_2m+1的最大值，设a_m+1+a_2m+1=A，根据等差数列的性质推出A与a₁、a_m+1的关系，代入已知条件，消去a_m+1，得到a₁、A的方程，利用方程有解，即可求出A的范围，故本题可解．

解答：解：（1）由a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，
可得：a₁²-a₁+a₁+a₂+a₃+…+a_m≤48，
又a₁=3，d=1，可得：6+3m+

m(m-1)

2

≤48．（4分）
整理得：m²+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7，即m的最大值为7．（6分）
（2）解：S=am+1+am+2+…+a2m+1=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

（8分）
设a_m+1+a_2m+1=A，
则A=a_m+1+a_2m+1+a₁-a₁=a_m+1+2a_m+1-a₁=3a_m+1-a₁．
则am+1=

A+a1

3

，由

a

2 1

+(

A+a1

3

)2=1，可得：10a₁²+2Aa₁+A²-9=0，（10分）
由△=4A²-40（A²-9）≥0，可得：-

10

≤A≤

10

．（12分）
所以S=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

=

(m+1)A

2

≤

10 (m+1)

2

．（14分）

点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及解不等式的有关知识，考查运算能力和推理能力．