Question

（21）设正项等比数列的首项，前n项和为，且。

（Ⅰ）求的通项；

（Ⅱ）求的前n项和。

Answer 1

（21）本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力.

解：（I）由2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0得

          2¹⁰(S₃₀-S₂₀)=S₂₀-S₁₀，

即        2¹⁰(a₂₁+a₂₂+…+a₃₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀,

可得      2¹⁰·q¹⁰(a₁₁+a₁₂+…+a₂₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀.

因为a_n>0，所以

          2¹⁰q¹⁰=1,

解得q=,因而

                a_n=a₁q^n-1=,n=1,2,….

(II)因为{a_n}是首项a₁=、公比q=的等比数列，故

     S_n==1-，nS_n=n-.

则数列{nS_n}的前n项和

         T_n=(1+2+…+n)-(++…+)，

      (1+2+…+n)-(++…+).

前两式相减，得

      (1+2+…+n)-(++…+)+

       =-+,

即       T_n=