Question

（2012•大连二模）已知数列{a_n）满足a₁=0，对任意k∈N^*，有a_2k-1，a_2k，a_2k+1成公差为k的等差数列，数列bn=

(2n+1)2

a2n+1

，则{bn}的前n项和S_n=

4n+

n

n+1

．

Answer 1

分析：依题意，可求得a₂，a₃，…，a₉，…，从而利用累加法可求得a_2n+1=n²+n，代入b_n=

(2n+1)2

a2n+1

，用分组求和与裂项法求和即可求得答案．

解答：解：当k=1时，a₁，a₂，a₃成公差为1的等差数列，由于
a₁=0，故a₂=1，a₃=2；
同理可得当k=2，3，4时，可以求得a₄=4，a₅=6，a₆=9，a₇=12，a₈=16，a₉=20；
∴a₃-a₁=2，a₅-a₃=4，a₇-a₅=6，…
∴a_2n+1-a_2n-1=2n，
∴将上述n个等式相加得：a_2n+1-a₁=

(2+2n)n

2

=n²+n，
∴a_2n+1=n²+n，
∴b_n=

(2n+1)2

a2n+1

=

(2n+1)2

n2+n

=

4(n2+n)+1

n2+n

=4+

1

n2+n

=4+（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=4n+[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=4n+（1-

1

n+1

）
=4n+

n

n+1

．
故答案为：4n+

n

n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a_2n+1=n²+n是关键，也是难点，考查裂项法求和与分组求和，属于难题．