Question

函数f（x）=alnx+1（a＞0）．
（Ⅰ） 当x＞0时，求证：；
（Ⅱ） 在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．
（Ⅲ） 当时，求证：）（n∈N^*）．

Answer 1

（ I）证明：设
令，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，
则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．
（ II）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x
即，
令，
令，，
则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0
∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e-1
所以a的取值范围为[e-1，+∞）．
（ III）证明：由第一问得知，则
则
=
==．
分析：（I）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值即可证明；
（II）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即，令，利用导数研究函数的单调性、极值及最大值即可；
（III）由第一问得知，则，然后利用“累加求和”即可证明．
点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及最大值，及恰当构造函数法，“累加求和”等方法．