题目内容
（2013•烟台二模）已知椭圆M：：
+
=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值．
分析：（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；
（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；
（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1-S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1-S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；
（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；
（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1-S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1-S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；
解答：解：（I）因为F（-1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，
所以a2=4，所以椭圆方程为
+
=1；
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到
，消掉y，得到7x2+8x-8=0，
所以△=288，x1+x2=-
，x1x2=-
，
所以|CD|=
|x1-x2|=
×
=
；
（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=-1，
此时D（-1，
），C（-1，-
），△ABD，△ABC面积相等，|S1-S2|=0，
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
和椭圆方程联立得到
，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
显然△＞0，方程有根，且x1+x2=-
，x1x2=
，
此时|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|
=2|k（x2+x1）+2k|=
=
≤
=
=
，（k=±
时等号成立）
所以|S1-S2|的最大值为
．
所以a2=4，所以椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到
|
所以△=288，x1+x2=-
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
所以|CD|=
| 1+k2 |
| 2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| 24 |
| 7 |
（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=-1，
此时D（-1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
和椭圆方程联立得到
|
显然△＞0，方程有根，且x1+x2=-
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
此时|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|
=2|k（x2+x1）+2k|=
| 12|k| |
| 3+4k2 |
| 12 | ||
|
| 12 | ||||
2
|
| 12 | ||
2
|
| 3 |
| ||
| 2 |
所以|S1-S2|的最大值为
| 3 |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．
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