Question

【题目】已知椭圆： （）的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）设点坐标为，若，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线的方程为或.

【解析】试题分析：（I）由抛物线的方程，求得焦点坐标，即可求得c，利用点到直线的距离公式，求得椭圆的离心率，求得a和b的值，求得椭圆方程；
（II）分类讨论，当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得k的值，求得直线AB的方程．

试题解析：

（Ⅰ）依题意，得， ，即，∴， ，

∴所求椭圆的方程为．　

（Ⅱ）若直线斜率不存在，即： ，满足.

若直线的斜率存在，设其方程为，

将其代入，整理得， ，

设， ，

则， ，

∴中点，根据题意，

∴，解得，

综上，直线的方程为或．