Question

已知函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）
（1）若f（x）=2，求f（3x）
（2）若f（x）的图象过点（2，4），记g（x）是f（x）的反函数，求g（x）在区间[]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数的表达式，得=2，而f（3x）=，结合指数运算法则，得f（3x）=2³=8；
（2）由f（x）的图象过点（2，4），解出a=2（舍负），从而f（x）的解析式为f（x）=2^x，其反函数为g（x）=log₂x，由对数函数的单调性和对数运算法则，不难得到g（x）在区间[]上的值域．
解答：解：（1）∵f（x）==2，
∴f（3x）==（）³=2³=8…4分
（2）∵f（x）的图象过点（2，4），
∴f（2）=4，即a²=4，解之得a=2（舍负）…6分  
因此，f（x）的表达式为y=2^x，
∵g（x）是f（x）的反函数，
∴g（x）=log₂x，…8分
∵g（x）区间[]上的增函数，g（）=log₂=-1，g（2）=log₂2=2，
∴g（x）在区间[]上的值域为[-1，1]．…12分
点评：本题给出指数函数，在已知图象经过定点的情况下求它的反函数的值域，着重考查了指对数函数的图象与性质和指对数运算法则等知识，属于基础题．