Question

已知数列{a_n}满足，数列{b_n}满足b_n=lna_n，数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
（3）我们知道数列{a_n}如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列{c_n}中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数k呢？若会，求出k的取值范围；若不会，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，两边取倒数得，判断出是等差数列，求出的通项公式后即可求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得 ，，考虑到两个和式不易化简或作差比较，为此采用逐项大小比较的办法．构造函数f（x）=lnx-x+1，求导研究出f（x）的单调性，
可得出，即b_i≤a_i-1，当且仅当i=1时取等号．从而，当且仅当n=1时取等号．
（3）由（1）知，易知{c_n}是一个递减数列，取n=m+1，则=
所以k的取值范围是[0，+∞）．
解答：解：（1）由
两边取倒数，得：，
∴是等差数列，首项，公差d=1；
∴，从而，
（2）由（1）得 ，，
构造函数f（x）=lnx-x+1，
则
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）≤f（1）=0，
即?x＞0，lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等号，
∴，即b_i≤a_i-1，当且仅当i=1时取等号，
∴，当且仅当n=1时取等号，
（3）由（1）知，显然{c_n}是一个递减数列，
∴对 n≠m，n∈N₊，m∈N₊恒成立．
取n=m+1，
则=
∴存在k满足恒成立，k的取值范围是[0，+∞）．
点评：本题是函数与导数、数列、不等式的综合．考查构造（新数列，函数）、转化、计算、推理论证能力．