Question

已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l′的方程.

(1)l′与l平行且过点（－1,3）；

(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；

(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线；

(4)l′过点(-3,1)且与l的夹角为

Answer 1

解析：要求直线l′的方程，必须从直线方程的四种基本形式中选择一种，要考虑已知哪些元素，还缺少什么元素.第（1）题已知l′过点(-1,3),只需求斜率，由于l′∥l,所以l′的斜率等于l的斜率,选取点斜式求解；第（2）题由l′⊥l得到l′的斜率，选用斜截式，分别求出与x、y轴的交点.建立了三角形面积的代数式（用截距b表示），从而可求出b的值；第（3）题要运用动态的观点来求解，实质是l与l′都与圆O：x²+y²=()²相切，旋转180°后，l与l′是平行的，所以l′可以设为3x+4y-m=0,由图形可知m＜0,由点到直线的距离求出m的值.另一种方法，也就是l与l′关于原点对称；第（4）题利用夹角公式求出l′的斜率，再用点斜式求解l′的方程.?

 

(1)直线l:3x+4y-12=0,k_l=-,?

又∵l′∥l,∴k_l′=k_l=-.?

∴直线l′:y=-(x+1)+3,即3x+4y-9=0.?

(2)∵l′⊥l,∴k_l′=.?

设l′与x轴截距为b,则l′与y轴截距为b,?

由题意可知S=b·b=4,?

∴b=±6.?

∴直线l′:y=x+6或y=x-.

(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，?

∴l′与l关于原点对称.?

任取点(x₀,y₀)在l上，则在l′上的对称点为(x,y).?

x=-x₀,y=-y₀,则-3x-4y-12=0.?

∴l′为3x+4y+12=0.?

(4)=

可解得k_l′=或k_l′=-7.?

∴l′的直线方程为x-7y+10=0或7x-y+22=0.