Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

2

2

，且经过点P(1，

2

2

)．
（1）求C的标准方程；
（2）直线l与C交于A、B两点，M为AB中点，且AB=2MP．请问直线l是否经过某个定点，如果经过定点，求出点的坐标；如果不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由 e=

2

2

，设C标准方程，代入(1，

2

2

)，可得a²=2，从而可得C的方程；
（2）若l斜率存在，设l方程为y=kx+b代入椭圆方程整理，利用韦达定理，由AB=2MP得AP⊥PB，即

PA

•

PB

=0，由此可得k，b的关系，从而可得结论；若l斜率不存在，验证即可．

解答：解：（1）由 e=

2

2

，设C标准方程为

x2

a2

+

2y2

a2

=1(a＞0)代入(1，

2

2

)，可得

1

a2

+

1

a2

=1，∴a²=2，
∴C的方程为

x2

2

+y2=1
（2）若l斜率存在，设AB坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，∴x1+x2=

-4kb

(2k2+1)

，x1x2=

2b2-2

(2k2+1)

，
由AB=2MP得AP⊥PB，即

PA

•

PB

=0，则(x1-1，y1-

2

2

)•(x2-1，y2-

2

2

)=0，
即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-

2

2

(y1+y2)+

1

2

=0∵y1+y2=k(x1+x2)+2b，y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2 
代入化简得k2+4kb+3b2-

2

b-

1

2

=0，k=-2b±(b+

2

2

)，k+b=

2

2

或

k

3

+b=-

2

6

，
若k+b=

2

2

，则过定点(1，

2

2

)，不合题意，舍去；
若

k

3

+b=-

2

6

，则过定点(

1

3

，-

2

6

)；
若l斜率不存在，通过(

1

3

，-

2

6

)，
综上所述，l通过定点，此点坐标为(

1

3

，-

2

6

)．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用韦达定理是关键．