Question

已知函数f（x）=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x3-

3

2

x2+1，f(2)=3；
得到f′（x）=3x²-3x，
则f′（2）=6，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-3=6（x-2），即y=6x-9；
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

，
因a＞0，则0＜

1

a

．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如表：

X	（-∞，0）	0	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
F’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

又f（0）=1，f(

1

a

)=1-

1

2a2

，
若要f（x）有三个零点，只需f(

1

a

)=1-

1

2a2

＜0即可，
解得a2＜

1

2

，又a＞0．
因此0＜a＜

2

2

．
故所求a的取值范围为{a|0＜a＜

2

2

}．