Question

（2013•杭州一模）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，其中n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=

2

2an-1

，求证：数列{b_n}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设C_n=

4an

n+1

，数列{C_nC_n+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得T_n＜

1

CmCm+1

对于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用递推公式即可得出b_n+1-b_n为一个常数，从而证明数列{b_n}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到b_n，进而得到a_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到T_n，要使得T_n＜

1

CmCm+1

对于n∈N^*恒成立，只要3≤

1

cmcm+1

，即

m(m+1)

4

≥3，解出即可．

解答：（Ⅰ）证明：∵b_n+1-b_n=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2，
∴数列{b_n}是公差为2的等差数列，
又b1=

2

2a1-1

=2，∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
∴2n=

2

2an-1

，解得an=

n+1

2n

．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得cn=

4× n+1 2n

n+1

=

2

n

，
∴c_nc_n+2=

2

n

×

2

n+2

=2(

1

n

-

1

n+2

)，
∴数列{C_nC_n+2}的前n项和为Tn=2[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=2[1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

]＜3．
要使得T_n＜

1

CmCm+1

对于n∈N^*恒成立，只要3≤

1

cmcm+1

，即

m(m+1)

4

≥3，
解得m≥3或m≤-4，而m＞0，故最小值为3．

点评：正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．