Question

（2012•厦门模拟）已知△ABC外接圆的圆心为O，且

OA

+

3

OB

+2

OC

=

0

，则∠AOC=

2

3

π

．

Answer 1

分析：设△ABC外接圆的半径等于1，由条件可得

OA

+2

OC

= -

3

•

OB

，平方求得cos∠AOC=-

1

2

，由此求得∠AOC的值．

解答：解：设△ABC外接圆的半径等于1，∵

OA

+

3

OB

+2

OC

=

0

，
∴

OA

+2

OC

= -

3

•

OB

．
平方可得 1+4+4•

OA

•

OC

=3，解得

OA

•

OC

=-

1

2

，即 1×1×cos∠AOC=-

1

2

．
再由  0≤∠AOC≤π 可得∠AOC=

2

3

π，
故答案为

2

3

π．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．