Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）证明：对任意的，都有；

（3）设，比较与的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义进行求解；（2）分别对不等式两段构造函数，利用导数研究两函数的单调性和最值，证明即可；（3）先等价化简，再作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可判定.

试题解析：（1）因为，

所以， ，

又因为，所以切点为

故所求的切线方程为： ，即.（2）因为，故在上是增加的，在上是减少的

，

设，则，故在上是增加的，

在上是减少的，故，

.

所以对任意的恒成立.

（3），

，

∵，∴，故只需比较与的大小，

令，设，

则.

因为，所以，所以函数在上是增加的

故.

所以对任意恒成立.即，从而有.