Question

已知椭圆的中心在原点，左焦点为F（-

3

，0），右顶点为D（2，0），设点A（1，

1

2

）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，过P点向椭圆的长轴做垂线，垂足为Q求线段PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由已知得椭圆的长半轴a=2，半焦距c=

3

，知短半轴b=1．由椭圆的焦点在x轴上，能求出椭圆的标准方程．
（2）设线段PQ的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），则

x0=x  y0=2y

，由点P在椭圆上，能求出线段PQ中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，
半焦距c=

3

，
则半短轴b=1．…（3分）
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1，…（5分）
（2）设线段PQ的中点为M（x，y），
点P的坐标是（x₀，y₀），
那么：

x=x0 y= y0 2

，即

x0=x  y0=2y

…（9分）
由点P在椭圆上，得

x2

4

+(2y)2=1，…（10分）
∴线段PQ中点M的轨迹方程是

x2

4

+4y2=1．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和求线段PQ的中点M的轨迹方程．主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．