Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）把直线l的方程变形后，根据直线l恒过定点，得到关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线l恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离d，发现d小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线l与圆恒交于两点；
（2）由平面几何知识可知，当直线l与AC垂直时，所截取的线段最短，由圆心C和定点A的坐标求出直线AC的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线l的斜率，由A的坐标和求出的斜率写出直线l的方程，再由A与C的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|即为弦心距，根据圆的半径，弦心距及弦的一半构成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此时的弦长．

解答：解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直线l恒过定点，
又

2x+y=7 x+y=4

?

x=3 y=1

，
∴直线l恒过定点A（3，1），
且（3-1）²+（1-2）²=5＜25?A（3，1）必在圆内，
故直线l与圆恒有两交点．
（2）∵圆心为C（1，2），定点为A（3，1）
∴kAC=

2-1

1-3

=-

1

2

由平面几何知识知，当直线l与AC垂直时所截线段最短，此时k_l=2
∴l方程为：y-1=2（x-3）?2x-y-5=0，此时d= |AC| = 

4+1

=

5

∴最短弦长=2

25-5

=4

5

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，恒过定点的直线方程以及点与圆的位置关系．第一问的关键是求出直线l恒过的A点坐标，判定A在圆内；第二问关键是根据平面几何知识得到直线l与AC垂直时所截取的线段最短．