Question

已知函数f(x)=a(2sin2

x

2

+sinx)+b．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递减区间；
（2）当a＜0时，f（x）在[0，π]上的值域是[2，3]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）=1-cosx+sinx+b=

2

sin(x-

π

4

)+ 1+b，由2kπ+

1

2

π≤x-

1

4

π≤2kπ+

3

2

π可求函数的单调递减区间
（2）f（x）=

2

asin(x-

π

4

)+a+b由x∈[0，π]可得-

π

4

≤x-

π

4

≤

3π

4

，则可求

- 2

2

≤sin(x-

π

4

)≤1，结合2≤f（x）≤3，a＜0可求a

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2sin²x+sinx+b
=1-cosx+sinx+b=

2

sin(x-

π

4

)+ 1+b（3分）
由2kπ+

1

2

π≤x-

1

4

π≤2kπ+

3

2

π可得2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

]，k∈Z（6分）
（2）∵f（x）=

2

asin(x-

π

4

)+a+b
∵x∈[0，π]∴-

π

4

≤x-

π

4

≤

3π

4

∴

- 2

2

≤sin(x-

π

4

)≤1（9分）
∵2≤f（x）≤3，a＜0
∴

2

a+a+b=2，b=3
∴a=1-

2

，b=3（12分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数性质的应用是求解本题的关键