Question

函数y=x2(1-2x)，(0＜x＜

1

2

)取得最大值时，对应的自变量x的值是

1

3

．

Answer 1

分析：由y=x²（1-2x）=x²-2x³，知y′=2x-6x²，由y′=2x-6x²=0，得x=0，或x=

1

3

，由0＜x＜

1

2

，知x=

1

3

，列表得x=

1

3

时，函数取极大值y=(

1

3

)2•(1-2×

1

3

)=

1

27

．由此能求出函数y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)取最大值时，对应的自变量x的值．

解答：解：∵y=x²（1-2x）=x²-2x³，
∴y′=2x-6x²，
由y′=2x-6x²=0，得x=0，或x=

1

3

，
∵0＜x＜

1

2

，
∴x=

1

3

，
列表，得

x	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ， 1 2 ）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

∴x=

1

3

时，函数取极大值y=(

1

3

)2•(1-2×

1

3

)=

1

27

．
∵函数y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)只有唯一的一个极大值，
∴结合函数的性质，知函数y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)取最大值时，
对应的自变量x的值为

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最大值的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．