Question

对于定义在[a，b]上的两个函数f（x）与g（x），如果对于任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的．若函数y=x²-4x+2与函数y=4x+m在区间[3，5]上是接近的，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题中的新定义可知，若函数y=x²-4x+2与函数y=4x+m在区间[a，b]上是接近的，得两函数解析式之差的绝对值小于等于1，分为：差小于等于1，大于等于-1两种情况分别得出两不等式，然后利用二次函数恒成立即可求出m的取值范围．

解答：解：根据函数y=x²-4x+2与函数y=4x+m在区间[a，b]上是接近的，
可得：|（x²-4x+2）-（4x+m）|≤1，
即

x2-8x+2-m≤1① x2-8x+2-m≥-1②

，
由①得m≥x²-8x+1，解得：m≥x²-8x+1，x∈[3，5]的最大值，即m≥-14；
由②得m≤x²-8x+3，解得：m≤x²-8x+3，x∈[3，5]的最大值，即m≤-13；
综上，实数m的取值范围是[-14，-13]
故答案为[-14，-13]

点评：此题考查学生掌握新定义并灵活运用新定义化简求值，是一道综合题．