Question

已知函数F（x）=ax﹣lnx（a＞0）
（1）若曲线y=f（x）在点（l，f（l））处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（2）若当x∈[l，e]时，函数f（x）的最小值是4，求函数f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=a﹣ （x＞0）
由f′（1）=a﹣1=2，∴a=3
∴f（1）=3
∴b=f（1）﹣2×1=1
（2）定义域为（0，+∞），f′（x）=a﹣ = 
由f′（x）＞0，得x＞ ，f′（x）＜0，得0＜x＜ 
∴f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ）单调递增
若 ，即a≥1时，f（x）在[1，e]单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=a=4，此时f（x）_max=f（e）=4e﹣1
若 ，即0＜a≤ 时，f（x）在[1，e]单调递减，
∴f（x）_min=f（e）=ae﹣1=4，∴ （不合题意）
若 ，即 时，f（x）在（1， ）单调递减，在（ ，e）单调递增，
∴f（x）_min=f（ ）=1+lna=4 此时a=e³（不合题意）
综上知，f（x）_max=4e﹣1