Question

圆O所在平面为α，AB为直径，C是圆周上一点，且PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，PA=

3

，AB=2，∠ABC=30°，设直线PC与平面ABC所成的角为θ、二面角P-BC-A的大小为φ，则θ、φ分别为（　　）

A．60°，30°

B．30°，30°

C．60°，60°

D．30°，60°

Answer 1

分析：由∠ACB是⊙O的直径所对的圆周角，可得BC⊥AC．利用线面垂直的性质定理及PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，可得PA⊥平面ABC．
因此∠PCB既是直线PC与平面ABC所成的角，又是二面角P-BC-A的平面角．利用直角三角形的边角关系求出即可．

解答：解：∵∠ACB是⊙O的直径所对的圆周角，∴∠ACB=90°．∴BC⊥AC．
∵PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，
∴PA⊥平面ABC．
∴BC⊥AC，∠PCB是直线PC与平面ABC所成的角，即∠PCA=θ．
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，即∠PCA=φ，因此θ=φ．
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2．
∴AC=1．
在Rt△ABC中，PA=

3

，∴tan∠PCA=

PA

AC

=

3

，
∴∠PCA=60°．
∴θ=φ=60°．
故选C．

点评：本题考查了面面、线面垂直的判定与性质、线面角、二面角的平面角、圆的性质、三垂线定理、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．