题目内容

（1）x，y∈R，x+y=5，求3^x+3^y的最小值．
（2）若 $数学公式$ 时，求函数y=x（1-3x）的最大值．

解：（1）由3^x＞0，3^y＞0，
∴3^x+3^y≥2 $\text{[math]}$ =18 $\text{[math]}$
所以3^x+3^y的最小值为18 $\text{[math]}$ ，
当且仅当，3^x=3^y，x=y= $\text{[math]}$ 时，取等号．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴3x＞0，1-3x＞0，
∴y=x（1-3x）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
当且仅当3x=1-3x即 $\text{[math]}$ 时取“=”号
分析：（1）首先判断3^x＞0，3^y＞0，然后知3^x+3^y≥2 $\text{[math]}$ =18 $\text{[math]}$ ．
（2）先根据x的范围确定1-3x的符号，再由y=x（1-3x）= $\text{[math]}$ 结合基本不等式的内容可得到函数的最大值．
点评：本题考查均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用，应用基本不等式时注意“一正、二定、三相等”的原则．

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（1）x，y∈R，x+y=5，求3^x+3^y的最小值．
（2）若0＜x＜

时，求函数y=x（1-3x）的最大值．

（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2ⁿ）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2ⁿ）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2^-n）与2^-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．

（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=

f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N

f(x)，当x∈M且x∉N

g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x²+2x+2，设b_n为曲线y=h（x）在点（a_n，h（a_n））处切线的斜率；而{a_n}是等差数列，公差为1（n∈N^*），点P₁为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点P_n的坐标为（a_n，b_n）．求证：

；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

（1）x，y∈R，x+y=5，求3^x+3^y的最小值．
（2）若0＜x＜

时，求函数y=x（1-3x）的最大值．

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2ⁿ）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2ⁿ）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2^-n）与2^-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．