Question

【题目】已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上, 的中心和的顶点均为原点,且椭圆经过点, ,抛物线过点.

（Ⅰ）求、的标准方程;

（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件:

①过的焦点;②与交不同两点、且满足.

若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 椭圆的方程为,抛物线（2）或.

【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程以及抛物线方程，解方程组可得.（2）先设M,N坐标，根据向量数量积化简，设直线方程代入化简，最后联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简，解得直线斜率，即得直线方程.

试题解析：解:（Ⅰ）由题意设椭圆,抛物线

则和

解得.

所以椭圆的方程为,抛物线.

（Ⅱ）依题意知,所以设直线方程为: ,

由得,显然.

则.

因为且,

所以

解得.

所以直线的方程为: 即或.