Question

三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，
（1） 求证：面PBC⊥面ABC；
（2） 求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO， 由已知△BAC为直角三角形，所以可得OA=OB=OC， 又知PA=PB=PC，则△POA≌△POB≌△POC， ∴∠POA=∠POB=∠POC=90°， ∴PO⊥OB，PO⊥OA，OB∩OA=O， 所以PO⊥面BCD， 又PO面ABC， ∴面PBC⊥面ABC。
（2）解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点， 如图建立坐标系O-xyz， 则 ， 设面PAB的法向量为n1=(x，y，z)， 由n1· =0，n1·=0，可知n1=(1，-，1)； 同理可求得面PAC的法向量为n2=(3，，1)， ∴cos(n1，n2)=。