Question

若直线2ax-by+2=0（a，b∈R）始终平分x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则a•b的取值范围是（　　）

• A．（-∞，

  1

  4

  ]
• B．（0，

  1

  4

  ）
• C．（0，

  1

  4

  ]
• D．（-∞，

  1

  4

  ）

Answer 1

分析：根据圆的性质，得圆心在直线2ax-by+2=0上，解得b=1-a，代入式子a•b并利用二次函数的图象与性质，即可算出a•b的取值范围．

解答：解：∵直线2ax-by+2=0（a、b∈R）始终平分x²+y²+2x-4y+1=0的周长，
∴圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0上，可得-2a-2b+2=0
解得b=1-a
∴a•b=a（1-a）=-（a-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，当且仅当a=

1

2

时等号成立
因此a•b的取值范围为（-∞，

1

4

]
故选：A

点评：本题给出直线始终平分圆，求ab的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的性质和二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．