Question

（本小题满分14分）
已知函数f(x)=x－ax + (a－1)，．
（I）讨论函数的单调性；
（II）若，数列满足．
若首项，证明数列为递增数列；
若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值．

Answer 1

解（I）可知的定义域为，且
．
当即,则,得在单调增加．————1分
当,而,即时,若，则;若或，则．
此时在单调减少，在单调增加；   ————3分
当,即,可得在单调减少，在单调增加.
综上，当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增．  ——————6分
（II）若，则=x－2x +，由（I）知函数在区间上单调递增．
（1）因为，所以，可知．
假设，因为函数在区间上单调递增，所以，即得．
所以，由数学归纳法可得．因此数列为递增数列．—————9分
（2）由（1）知：当且仅当，数列为递增数列．
所以，题设即a1－2 a1 + > a1，且a1为正整数．
由a1－2 a1 + > a1，得．　
令，则，可知函数在区间递增．由于，，，．所以，首项的最小值为6． ————————14分

略