Question

已知函数f(x)=cos2(x+

π

12

)+

1

2

sin2x．
（1）求f（x）的最值；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的最值求f（x）的最值；
（2）通过正弦函数的单调增区间求f（x）的单调增区间，即可．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]+

1

2

sin2x（2分）
=

1

2

[1+(cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

)+sin2x]=

1

2

(1+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x)（2分）
=

1

2

sin(2x+

π

3

)+

1

2

．（2分）
f（x）的最大值为1、最小值为0；（2分）
（2）f（x）单调增，故2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，（2分）
即x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)，
从而f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)．（2分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，考查计算能力，常考题型．