Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

3

2

？若存在，求出

AQ

QD

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）证明直线PO⊥平面ABCD，因为平面PAD⊥底面ABCD，只需证明面PAD内的直线PO垂直这两个平面的交线即可即；
（Ⅱ）连接BO，说明∠PBC是异面直线PB与CD所成的角，然后解三角形，求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上存在点Q，设QD=x，利用等体积方法，求出比值．
法二：建立空间直角坐标系，求出向量

CD

=(-1，1，0)，

PB

=(1，-1，-1)．
利用向量数量积解答（Ⅱ）；利用平面的法向量和数量积解答（Ⅲ）即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：在△PAD中，PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD
所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC=2有OD∥BC
且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBC是锐角，
所以∠PBC是异面直线PB与CD所成的角
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=

2

在Rt△AOP中  因为AP=

2

AO=1，所以OP=1
在Rt△AOP中tan∠PBC=

PC

BC

=

1

2

=

2

2

 ，  ∠PBC=arctan

2

2

所以：异面直线PB与CD所成角的大小arctan

2

2

．

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

3

2

．
设QD=x，则S△DQC=

1

2

x，由（Ⅱ）得CD=OB=

2

，
在Rt△POC中，PC=

OC2+OP2

=

2

，
所以PC=CD=DP，S△PCD=

3

4

•(

2

)2=

3

2

，
由V_p-DQC=V_Q-PCD，得x=

3

2

，所以存在点Q满足题意，此时

AQ

QD

=

1

3

．

解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以O为坐标原点，

OC

、

OD

、

OP

的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，
依题意，易得A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
所以

CD

=(-1，1，0)，

PB

=(1，-1，-1)．
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos

6

3

，

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

3

2

，
由（Ⅱ）知

CP

=(-1，0，1)，

CD

=(-1，1，0)．
设平面PCD的法向量为n=（x₀，y₀，z₀）．
则

n• CP =0 n• CD =0

所以

-x0+z0=0 -x 0+y0=0

即x₀=y₀=z₀，
取x₀=1，得平面PCD的一个法向量为

n

=（1，1，1）．
设Q(0，y，0)(-1≤y≤1)，

CQ

=(-1，y，0)，由

| CQ•n |

|n|

=

3

2

，得

|-1+y|

| 3 |

=

3

2

，
解y=-

1

2

或y=

5

2

（舍去），
此时|AQ|=

1

2

，|QD|=

3

2

，所以存在点Q满足题意，此时

AQ

QD

=

1

3

．

点评：本题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
第一问就建立坐标系的就会导致错误．再者就是线与线所成角应该在[0，

π

2

]才可