题目内容

已知函数 $数学公式$ （其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正周期为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ的面积．

（1）解：∵f（x）的最大值为2，且A＞0，∴A=2．…（1分）
∵f（x）的最小正周期为8，∴ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．…（2分）
∴f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）．…（3分）
（2）解法1：∵ $\text{[math]}$ ，…（4分）
∴ $\text{[math]}$ ，…（5分）
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．…（8分）
∴ $\text{[math]}$ ．…（10分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（11分）
∴△POQ的面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（12分）
解法2：∵ $\text{[math]}$ ，…（4分）
∴ $\text{[math]}$ ，…（5分）
∴ $\text{[math]}$ ．
∴直线OP的方程为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．…（7分）
∴点Q到直线OP的距离为 $\text{[math]}$ ．…（9分）
∵ $\text{[math]}$ ，…（11分）
∴△POQ的面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）由函数的最大值求出A，由周期求得ω，从而求得函数的解析式．
（2）解法1：先求出P、Q两点的坐标，利用两个向量的夹角公式求得cos∠POQ，可得sin∠POQ的值，根据△POQ的面积为 $\text{[math]}$ ，运算求得结果．
解法2：先求出P、Q两点的坐标，利用点到直线的距离公式求得点Q到直线OP的距离d以及OP的长度，再根据△POQ的面积为 $\text{[math]}$ 运算求得结果．
点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．