Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l：x=2

2

于E，F两点．证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点．

Answer 1

（1）由题意可知，b=1，…（1分）
∵e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²．…（3分）
∴a=2，…（4分）
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．…（5分）
（2）证明：由题可得A（-2，0），B（2，0）．
设P（x₀，y₀），由题意可得，直线AP的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，…（7分）
令x=2

2

，则y=

(2 2 +2)y0

x0+2

，即E（2

2

，

(2 2 +2)y0

x0+2

）；                    …（8分）
直线BP的方程为y=

y0

x0-2

(x-2)，…（9分）
令x=2

2

，则y=

(2 2 -2)y0

x0-2

，即F（2

2

，

(2 2 -2)y0

x0-2

）；                   …（10分）
设点M（m，0）在以线段EF为直径的圆上，则

ME

•

MF

=0，…（11分）
即(m-2

2

)2+

4y02

x02-4

=0，…（12分）
∵

x02

4

+y02=1，即4y02=4-x02，
∴(m-2

2

)2=1，
∴m=2

2

+1或m=2

2

-1．…（13分）
所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点（2

2

+1，0）或（2

2

-1，0）．…（14分）