Question

已知直线l：y=tanα（x+2

2

）交椭圆x²+9y²=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围．

Answer 1

分析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题．

解答：解：将l方程与椭圆方程联立，消去y，得（1+9tan²α）x²+36

2

tan²α•x+72tan²α-9=0，
∴|AB|=

1+tan2α

|x₂-x₁|=

1+tan2α

•

△

(1+9tan2α)

=

6tan2α+6

1+9tan2α

．
由|AB|≥2，得tan²α≤

1

3

，
∴-

3

3

≤tanα≤

3

3

．
∴α的取值范围是[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）．

点评：本题考查直线的倾斜角，解题时要注意公式的灵活运用，认真解答．