Question

如图，正方形ABCD所在平面与△ABE所在平面垂直，AB=AE=2，∠EAB=90°，EC中点为F．
（1）求证：BF⊥DE
（2）求直线ED与平面EBC所成角．

Answer 1

分析：（1）分别以AE，AB，AD所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系如图根据题意得

ED

•

BF

=-2+0+2=0∴BF⊥DE
（2）计算直线ED所在的向量是

ED

=(-2，0，2)，平面EBC的一个法向量为

n

=（1，1，0）然后两个向量的夹角．

解答：解：（1）证明：分别以AE，AB，AD所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系如图
∵AB=AE=2∴AD=BC=CD=2B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2），E（2，0，0），
∴从而得F（1，1，1）

ED

=(-2，0，2) ，

BF

=(1，-1，1)
∵

ED

•

BF

=-2+0+2=0
∴BF⊥DE
（2）解：设平面EBC的法向量为

n

=(x，y，z)

EB

=(-2，2，0) ，

BC

=(0，0，2)
由

EB • n =0 BC • n =0

得

-2x+2y=0 z=0

，
取x=1
平面EBC的一个法向量为

n

=（1，1，0）
设直线ED与平面EBC所成角为α
∴sinα=|cos＜

n

，

ED

＞|=|

-2

8 • 2

|=

1

2

∴α=30°

点评：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标，将几何问题转化为代数问题．