Question

营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪.1000g食物A含有105g碳水化合物，70g蛋白质，140g脂肪，花费28元；而1000g食物B含有105g碳水化合物，140g蛋白质，70g脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少g？花费多少钱？

Answer 1

分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．

解答：解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z．那么

0.105x+0.105y≥0.075 0.07x+0.14y≥0.06 0.14x+0.07y≥0.06 x≥0 y≥0

目标函数为z=28x+21y
二元一次不等式组①等价于

7x+7y≥5 7x+14y≥6 14x+7y≥6 x≥0 y≥0

，
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域．
考虑z=28x+21y，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值．
由3.3-11可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．
解方程组

7x+7y=5 14x+7y=6

得M的坐标为x=

1

7

，y=

4

7

，
所以z_minz=28x+21y=16．
答：每天食用食物A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．