Question

已知函数f（x）=a^x-

10

3

a的反函数f^-1（x）的图象过点（-1，2），且函数f（x）为减函数．
（1）求y=f^-1（x）的解析式；
（2）求满足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得函数f（x）的图象过点（2，-1），解得a的值，求出函数f（x）的解析式，从而得到 f^-1（x）的解析式．
（2）由f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）可得，

2x+ 10 9 ＞0 2x+ 10 9 ＜x2+1+ 10 9

，由此求出x的取值范围．

解答：解：（1）∵反函数f^-1（x）的图象过点（-1，2），
故函数f（x）的图象过点（2，-1），∴-1=a²-

10

3

a，解得a=3，或a=

1

3

．
又f（x）为减函数，∴a=

1

3

，所以f（x）=(

1

3

)x-

10

9

，f（x）＞-

10

9

．
所以f^-1（x）=log

1

3

（x+

10

9

），（x＞-

10

9

）．
（2）由f^-1（2x）＞f^-1（x²+1），可得

2x+ 10 9 ＞0 2x+ 10 9 ＜x2+1+ 10 9

，解得

x＞- 5 9 x≠1

．
故满足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范围是{x|x＞-

5

9

且x≠1}．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，求一个函数的反函数，属于基础题．