Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

1

2

[f(x1)+f(x2)]=c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为c．下列4个函数：①y=4sinx，②y=x³，③y=lgx，④y=2^x．则满足在其定义域上的均值为2的所有函数的序号是

②③

．

Answer 1

分析：函数①y=4sinx，因为y=4sinx是R上的周期函数，不成立．
②y=x³，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一x2=

3	4- x 3 1

的，即可得到成立．
③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．
④y=2^x，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．

解答：解：①y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不满足条件
②y=x³，取任意的x₁∈R，由

f(x1)+f(x2)

2

=2，解得x2=

3	4- x 3 1

，可以得到唯一的x₂∈D．故满足条件．
③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．
④y=2^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，则f（x₂）=-4，不成立．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力．综合性较强．