Question

设a∈R，b∈R，x∈[-1，1]时，f（x）=-x²-ax+b的最小值是-1，最大值是1，求a、b的值．

Answer 1

【答案】分析：由于f（x）=-++b，对称轴为 x=-，分-＜-1、-1≤-≤0、0＜-≤1、-＞1四种情况，分别利用函数的单调性并根据函数的最值，求出a、b的值．
解答：解：f（x）=-x²-ax+b=-（x²+ax-b）=-++b，对称轴为 x=-．
①当-＜-1时，f（x）=-x²-ax+b在[-1，1]上是减函数，由可得，a、b无解．
②当-1≤-≤0时，f（x）=-x²-ax+b在[-1，]上是增函数，在（，1]上是减函数，
由可得 ．
③当0＜-≤1时，f（x）=-x²-ax+b在[-1，]上是增函数，在（，1]上是减函数，
由可得 ．
④当-＞1时，f（x）=-x²-ax+b在[-1，1]上是增函数，由可得 a、b无解．
综上可得， 或 ．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．