Question

已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为： （x>0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x₀，

此时A（x₀，），B（x₀，－），＝2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，

代入双曲线方程中，得：(1－k²)x²－2kbx－b²－2＝0

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则

解得|k|>1，

又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）

＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

综上可知的最小值为2