Question

△ABC中，三内角A，B，C成等差数列．
（1）若b=7，a+c=13，求此三角形的面积；
（2）求

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范围．

Answer 1

分析：由三内角成都城数列，利用等差数列的性质求出B的度数，
（1）利用余弦定理表示出b2，配方后把b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后由ac的值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出此三角形的面积；
（2）把所求的式子先利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出此角的范围，进而根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，即可得到所求式子的范围．

解答：解：因为A，B，C成等差数列，所以B=60°，
（1）由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
即7²=13²-3ac，得ac=40，（5分）
所以△ABC的面积S=

1

2

acsinB=10

3

；（7分）
（2）

3

sinA+sin(C-

π

6

)=

3

sinA+sin(

π

2

-A)
=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)（11分）
又由题可知A∈（0，

2π

3

），
所以A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
所以sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
则

3

sinA+sin(C-

π

6

)=2sin(A+

π

6

)∈(1，2]．（14分）

点评：此题综合考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的值域以及三角函数的恒等变换，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．