Question

（文科做）已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB?α，CD?β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．
（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；
（2）求截面四边形MNPQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据两个平面平行的性质定理，得到线与线平行，得到四边形MNPQ是一个平行四边形，根据成比例线段得到要用的线段之间的关系，表示出四边形的周长．
（2）要求四边形面积的最大值，首先表示出四边形的面积，由MN∥AB，得MN=

x

c

a，同理MQ=

c-x

c

a，又AB与CD所成的角为θ，根据四边形的面积是三角形面积的二倍，表示出四边形的面积，根据二次函数的性质得到结果．

解答：解：（1）∵平面α∥面β，平面ABC∩α=AB，
平面ABC∩β=MN，
∴AB∥MN，
同理PQ∥AB，有PQ∥MN，同理NP∥MQ，
∴四边形MNPQ是一个平行四边形，

NP

CD

=

BP

BD

，

PQ

AB

=

DP

BD

∴

NP

CD

+

PQ

AB

=

BP+DP

BD

=1
∵AB=CD=a，
∴NP+PQ=a，即四边形的周长是2a．
（2）设AC=c，CM=x，
由MN∥AB，得MN=

x

c

a，同理MQ=

c-x

c

a，
又AB与CD所成的角为θ，∴sin∠NMQ=sinθ
∴四边形的面积是s=2×

1

2

•

x

c

•a•

c-x

c

•b•sinθ
=

ab

c2

[-(x-

c

2

)2+

c2

4

]sinθ
∴当x=

c

2

时，s的最大值是

ab

4

sinθ，
此时M为AC的中点．

点评：本题考查面与面平行的性质定理，考查面积的最值，本题解题的关键是对于求最值的问题，首先要表示出面积，再利用函数的最值的求法得到结果．