题目内容
设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，求证：AC过原点O.
分析：证明直线AC经过点O，只需证明
∥
即可.
证明：设直线AB的方程为x=ky+
，与抛物线联立得y2-2pky-p2=0. ①
设A(
,y1)、B(
,y2),则C(-
,y2), 
=(-
,y2) 
=(
,y1).
由①得y1y2=-p2,所以-
y1-y2·
=0
∥
.所以AC经过原点O.
说明：本题的解法很多，下面用向量a、b共线的充要条件a=λb来证明.
由AB过焦点F，得
+
=
，
所以
=
,
=
. (*)
因为点C在抛物线的准线上，BC∥x轴，所以
|
|=|
|,
=
+
+
=
+
+
= 
+
+
,
=
+
.将
、
代入(*)式得
+
=
(
+
+
),化简得
=
,所以
∥
，即直线AC过原点O.
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），y1＞0，y2＜0，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．若直线MA，MF，MB的斜率分别记为：KMA=a，KMF=b，KMB=c，（如图）