Question

过点P（2，1）作抛物线y²=4x的弦AB，若弦恰被P点平分
（1）求直线AB所在直线方程；（用一般式表示）
（2）求弦长|AB|．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
（2）把直线方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式即可得出．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2

⇒（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
由于直线的斜率存在，故

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2，
从而直线AB的方程为：y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．
（2）

y2=4x y=2x-3

⇒（2x-3）²=4x即4x²-16x+9=0，
因△＞0，故

x1+x2=4 x1x2= 9 4

于是|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

16-9

=

35

．

点评：熟练掌握“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式、直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．