Question

已知函数f(x)=1-

1

x2

．
（Ⅰ）证明函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）用函数的单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用偶函数的定义即可证明；
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，根据增函数的定义只需通过作差证明f（x₂）＞f（x₁）；

解答：证明：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为D={x∈R|x≠0}．
设x∈D，则-x∈D，f(-x)=1-

1

(-x)2

=1-

1

x2

=f(x)．
所以函数f（x）为偶函数．
（Ⅱ）设x₁，x₂是（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=1-

1

x 2 2

-(1-

1

x 2 1

)
=

1

x 2 1

-

1

x 2 2

=

x 2 2 - x 2 1

x 2 1 x 2 2

=

(x2-x1)(x2+x1)

x 2 1 x 2 2

．
因为0＜x₁＜x₂，所以x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
所以△y＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．