Question

已知函数f(x)=

x2-ax+a

x

，若对任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围（　　）

• A．(

  15

  3

  ，

  8

  3

  )
• B．(-∞，

  9

  2

  )
• C．（-∞，4）
• D．(

  9

  2

  ，

  8

  3

  )

Answer 1

分析：此题要学会转化，对任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立，转化为x²-ax+a＞0恒成立，然后再分离常数a，进行求解；

解答：解：∵函数f(x)=

x2-ax+a

x

，若对任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立，
∴x²-ax+a＞0，对任意x∈[3，+∞），恒成立，
分离常数得，a＜

x2

x-1

，求出

x2

x-1

的最小值即可，
∵

x2

x-1

=

1

x-1

+（x-1）+2，令x-1=t，得f（t）=

1

t

+t+2（t≥2），
函数f（t）在[2，+∞）上为增函数，f_min（t）=f（2）=

9

2

，
∴a＜

9

2

，
故选B．

点评：此题考查函数的恒成立问题，利用了常数分离法，这是一种比较简便的方法；