Question

某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表：已知分3期付款的频率为0.4．

付款方式	分1期	分3期	分3期	分4期	分5期
频数	10	20	a	20	b

（1）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位客户中，至少有1位采用分3期付款”的概率P（A）；
（2）4S店经销一辆该品牌的汽车，若客户分1期付款，其利润是1万元；若分2期或3期付款，其利润是1.5万元；若分4期或5期付款，其利润是2万元．用表示经销一辆该品牌汽车的利润，求η的分布列及数学期望Eη．

Answer 1

分析：（1）根据分3期付款的频率为0.4，以及频数=样本容量×频率，可求出a的值，再根据总数为100可求出b的值，购买该品牌汽车的3为顾客中至少有1位采用3期付款有两种情形，一种情况是只有2人采用3期付款，一种情况是只有1人采用3期付款，分别求出相应的概率，求和即可；
（2）根据η的可能取值为1，1.5，2，然后分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（1）由

a

100

=0.4，得a=40，
∵10+20+a+20+b=100，∴b=10
记分期付款的期数为ξ，依题意得
P（ξ=1）=

10

100

=0.1，P（ξ=2）=

20

100

=0.2，P（ξ=3）=

40

100

=0.4
P（ξ=4）=

20

100

=0.2，P（ξ=5）=

10

100

=0.1
则“购买该品牌汽车的3为顾客中至少有1位采用3期付款”的概率
P（A）=

C

2 3

×0.4²×0.6+

C

1 3

×0.4×0.6²=0.72．
（2）因为η的可能取值为1，1.5，2
P（η=1）=P（ξ=1）=0.1，P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.6
P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.3
列表如下：

η	1	1.5	2
P	0.1	0.6	0.3

所以η的数学期望E（η）=1×0.1+1.5×0.6+2×0.3=1.6（万元）

点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及离散型随机变量的期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．