Question

（2013•牡丹江一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PM=

1

2

PC，求四棱锥M-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）连接BD，等边三角形PAD中，中线PQ⊥AD；因为菱形ABCD中∠BAD=60°，所以AD⊥BQ，最后由线面垂直的判定定理即可证出AD⊥平面PQB；
（2）连接QC，作MH⊥QC于H．因为平面PAD⊥平面ABCD，PQ⊥AD，结合面面垂直性质定理证出PQ⊥平面ABCD．而平面PQC中，PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱锥M-ABCD的高线．最后利用锥体体积公式结合题中数据即可算出四棱锥M-ABCD的体积．

解答：解：（1）连接BD
∵PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD
又∵∠BAD=60°，底面ABCD为菱形，
∴△ABD是等边三角形，
∵Q为AD的中点，∴AD⊥BQ
∵PQ、BQ是平面PQB内的相交直线，∴AD⊥平面PQB．
（2）连接QC，作MH⊥QC于H．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD
∴PQ⊥平面ABCD，结合QC?平面ABCD，可得PQ⊥QC
∵平面PQC中，MH⊥QC且PQ⊥QC，
∴PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱锥M-ABCD的高线
∵PM=

1

2

PC，可得MH=

1

2

PQ=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

，
∴四棱锥M-ABCD的体积为V_M-ABCD=

1

3

×

1

2

AC×BD×MH=

1

6

×2×2

3

×

3

2

=1．

点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求锥体体积，着重考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题．