Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥矩形ABCD，则四棱锥的四个侧面中直角三角形的个数为（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：由PA⊥矩形ABCD 可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数．

解答：解：如图：四棱锥P-ABCD中，PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．
又矩形中 CB⊥AB，CD⊥AD．
这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，
CD垂直于平面PAD内的两条相交直线 PA、AD，
由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．
故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD．
故选A．

点评：本题主要考查证明线线垂直、线面垂直的方法，以及棱锥的结构特征，属于基础题．